Simulation des lois de probabilités en Scilab
I. Fonctions utils
1. Le générateur aléatoire rand
La librairie standard d’un langage d’implémentation sur ordinateur contient généralement un générateur de nombres aléatoires. L’appel à une fonction de type random fournit une suite de nombres x1, ..., xn ∈ [0, 1] sensés être n réalisations X1(ω),...,Xn(ω) de n variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur[0, 1].
Sous Scilab, la fonction rand permet de réaliser une telle simulation, à ceci près qu’elle permet de générer des matrices aléatoires au lieu de simples listes. Ainsi, l’appel à la fonction :
rand(m,n) fournit une matrice aléatoire de dimension m*n, dont chaque terme est la réalisationd’une suite de m*n variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]
rand(a) fournit une matrice aléatoire de même dimension que la matrice a
rand() sans argument retourne un scalaire.
rand("uniform") : la loi par défaut est la loi uniforme sur [0, 1].
rand("normal") : la loi par défaut est la loi normale centrée réduite.
--> rand(3,4)
ans =
0.2113249 0.3303271 0.8497452 0.068374
0.7560439 0.6653811 0.685731 0.5608486
0.0002211 0.6283918 0.8782165 0.6623569
--> A=[1 2 3]
A =
1. 2. 3.
--> rand(A)
ans =
0.7263507 0.1985144 0.5442573
--> rand()
ans =
0.23207482. Le générateur aléatoire grand
La fonction grand dispose de générateurs aléatoires produisant des séquences de nombres qui possèdentde meilleures qualités statistiques que rand. Par conséquent, dans les situations ou la qualité statistiquedes séquences de nombres aléatoires est importante, il vaut mieux utiliser la fonction grand. Cette fonctiondispose par ailleurs de fonctionnalités très variées dont voici les plus classiques (les instructions ci-dessousrenvoient une matrice de taille N x M de valeurs obtenues selon la loi choisie) :
X=grand(N,M,"uin",n1,n2) : simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur n1, n2 ;
X=grand(N,M,"bin",n,p) : simule une variable aléatoire suivant la binomiale de paramètres (n,p);
X=grand(N,M,"geom",p) : simule une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p;
X=grand(N,M,"poi",lambda) : simule une variable aléatoire suivant la loi Poisson de paramètre λ;
X=grand(N,M,"def") : simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1[ ;
X=grand(N,M,"unf",a,b) : simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a, b[ ;
X=grand(N,M,"gam",nu,1/b) : simule une variable aléatoire suivant la loi gamma de paramètres (b, v) ;
X=grand(N,M,"bet",a,b) : simule une variable aléatoire suivant la loi beta de paramètres (a, b) ;
--> grand(1,5,"uin",1,10)
ans =
2. 10. 6. 9. 4.
--> X=grand(1,5,"bin",10,0.5)
X =
3. 6. 8. 8. 8.
--> X=grand(1,5,"geom",0.5)
X =
1. 1. 3. 3. 1.
--> X=grand(1,5,"unf",1,7)
X =
4.8385801 5.753244 6.2705839 6.7569546 4.0219761II. Simulation des lois avec rand
1. La loi de Bernoulli de paramètre p.
C’est aussi une brique de base. L’algorithme le plus simple consiste à couper l’intervalle [0, 1] en deuxsous-intervalles, l’un de taille p, l’autre de taille 1 − p :
U = rand(1);
if(U < p) then X = 1;else X = 0;
end2. Loi discrète uniforme sur [a,b].
On utilise l’instruction rand(n) qui renvoie un entier aléatoire compris entre 0 et n-1 suivant la loiuniforme sur [0; n − 1] . On obtient alors une simulation de X avec l’instruction suivante :
X=a+rand(b-a+1)
3. Loi binomiale de paramètre (n, p)
Il suffit d’ajouter des lois de Bernoulli
U = rand(1, n)
Y = (U < p) ;
X = sum(Y )4. Loi géométrique de paramètre p
Il suffit de répéter des Bernoulli jusqu’à obtenir un succès :
X = 1;
U = rand(1);
while(U>p)X=X+1;U=rand(1); end
disp(X)
5. Loi uniforme à densité sur un intervalle [a,b]
On utilise l’instruction rand() qui simule la loi uniforme sur [0 ; 1].On obtient une simulation de X avec l’instruction suivante :
X=a+(b-a)*rand()
