Le concept de sous-structure optimale
Le concept de sous-structure optimale fait référence à une propriété des problèmes d'optimisation où une solution optimale du problème global peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes. Cette propriété est essentielle pour appliquer la programmation dynamique et les algorithmes gloutons.
Lorsqu'un problème présente une sous-structure optimale, cela signifie que les solutions optimales aux sous-problèmes locaux peuvent être combinées pour former la solution optimale au problème principal. Cette propriété permet de décomposer le problème initial en sous-problèmes plus petits et plus faciles à résoudre.
La sous-structure optimale est un indicateur clé pour utiliser la programmation dynamique ou les algorithmes gloutons comme approche de résolution. Dans le cas de la programmation dynamique, les solutions aux sous-problèmes sont stockées et utilisées pour résoudre des problèmes plus grands, tandis que les algorithmes gloutons construisent une solution globale en prenant des décisions optimales à chaque étape locale.
Quelques exemples de problèmes avec des sous-structures optimales :
- Problème du plus court chemin : La solution optimale pour le plus court chemin entre deux nœuds dans un graphe peut être obtenue en trouvant les plus courts chemins pour des nœuds intermédiaires. La programmation dynamique, comme l'algorithme de Floyd-Warshall, exploite cette propriété pour résoudre le problème.
- Problème de la plus longue sous-séquence commune (PLSC) : La solution optimale pour trouver la plus longue sous-séquence commune entre deux séquences peut être obtenue en résolvant des sous-problèmes plus petits, tels que les plus longues sous-séquences communes entre des sous-séquences plus courtes. La programmation dynamique est souvent utilisée pour résoudre ce problème.
- Problème du sac à dos (Knapsack) : Pour déterminer la combinaison d'objets qui maximise la valeur totale sans dépasser la capacité du sac à dos, la solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales pour des sous-problèmes avec des capacités réduites ou moins d'objets disponibles. La programmation dynamique est une technique courante pour résoudre ce problème.
- Problème de l'arbre couvrant de poids minimum (Minimum Spanning Tree - MST) : Pour construire un arbre couvrant de poids minimum d'un graphe, il est possible de combiner des sous-arbres couvrant de poids minimum pour former la solution optimale globale. L'algorithme de Kruskal et l'algorithme de Prim sont des exemples d'algorithmes gloutons qui exploitent cette propriété.
En résumé, le concept de sous-structure optimale est essentiel pour identifier les situations où la programmation dynamique et les algorithmes gloutons peuvent être utilisés pour résoudre un problème. En exploitant cette propriété, ces techniques permettent de décomposer le problème initial en sous-problèmes plus simples et de construire une solution optimale globale à partir des solutions optimales des sous-problèmes. Cela conduit généralement à une réduction de la complexité temporelle et à une amélioration de l'efficacité des algorithmes.
