Introduction à la résolution numérique d'un système linéaire

Introduction

Les équations linéaires se produisent dans presque toutes les branches de l'analyse numérique. Mais leur application la plus visible en ingénierie est l'analyse de systèmes linéaires.

Les systèmes linéaires comprennent les structures, les solides élastiques, le flux de chaleur, l'infiltration de fluides, les champs électromagnétiques et les circuits électriques ...etc.

Si le système est discret, alors son analyse conduit directement à des équations linéaires. Le comportement des systèmes continus est décrit par des équations différentielles plutôt que par des équations linéaires.

En résumé, la modélisation des systèmes linéaires donne lieu à des équations de la forme \(Ax = b\), où b est l'entrée et x représente la réponse du système. La matrice de coefficients A, qui reflète les caractéristiques du système, est indépendante de l'entrée.

Un système linéaire a la forme suivante : \begin{equation} \begin{matrix} A_{11}x_1+A_{12}x_2 +A_{13}x_3+...+A_{1n}x_n& = b_1\\ A_{21}x_1+A_{22}x_2 +A_{23}x_3+...+A_{2n}x_n& = b_2\\ &\vdots \\ A_{n1}x_1+A_{n2}x_2 +A_{n3}x_3+...+A_{nn}x_n& = b_n \end{matrix} \end{equation} où les coefficients \(A_{ij}\) et les constantes \(b_j\) sont connus, et \(x_i\) représente les inconnues.

En notation matricielle, les équations s'écrivent comme suit : \begin{equation} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22} &\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} \end{equation} ou simplement \begin{equation} Ax=b \end{equation}

Une représentation particulièrement utile des équations à des fins de calcul est la matrice de coefficients augmentée: \begin{equation} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}&\bigm|&b_1\\ A_{21}&A_{22} &\cdots&A_{2n}&\bigm|&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\bigm|&\vdots \\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}&\bigm|&b_n \end{bmatrix} \end{equation}

Un système de n équations linéaires à n inconnues a une solution unique, si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :

•  Le déterminant de la matrice de coefficients soit non singulier; c'est-à-dire \(|A| \neq 0\).
•  Les vecteurs de lignes et de colonnes sont linéairement indépendants.

Si la matrice de coefficients est singulière, les équations peuvent avoir un nombre infini de solutions ou aucune solution du tout.

Méthodes de résolution

Il existe deux classes de méthodes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires: les méthodes directes et itératives.

• La caractéristique commune des méthodes directes est qu'elles transforment les équations originales en équations équivalentes qui peuvent être résolues plus facilement. La transformation est effectuée en appliquant les trois opérations suivantes :
  •  Echanger de deux équations;
  •  Multiplier une équation par une constante non nulle
  •  Multiplier une équation par une constante différente de zéro, puis la soustraire d'une autre équation.
• Les méthodes itératives ou indirectes commencent par une estimation de la solution x, puis affinent à plusieurs reprises la solution jusqu'à ce qu'un certain critère de convergence soit atteint.

Types spéciaux de matrices carrées

Matrice symétrique

Une matrice symétrique est une matrice où \(a_{ij} = a_{ji}\) pour tous les i et j. Par exemple, \begin{equation} [A]= \begin{bmatrix} 5&1&2\\ 1&3&7\\ 2&7&8 \end{bmatrix} \end{equation}

Matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments hors de la diagonale principale sont égaux à zéro, comme dans le cas suivant : \begin{equation} [A]= \begin{bmatrix} a_{11}&&&\\ &a_{22}&&\\ &&a_{33}&\\ &&&a_{44} \end{bmatrix} \end{equation}

Matrice d'identité

Une matrice d'identité est une matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, comme dans l'exemple suivant : \begin{equation} [I]= \begin{bmatrix} 1&&&\\ &1&&\\ &&1&\\ &&&1 \end{bmatrix} \end{equation}

Matrice triangulaire supérieure

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les éléments situés sous la diagonale principale sont nuls, comme dans l'exemple suivant : \begin{equation} [A]= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ &a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ &&a_{33}&a_{34}\\ &&&a_{44} \end{bmatrix} \end{equation}

Matrice triangulaire inférieure

Une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls, comme dans l'exemple suivant : \begin{equation} [A]= \begin{bmatrix} a_{11}&&&\\ a_{21}&a_{22}&&\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} \end{equation}

Matrice bande

Une matrice bande a tous les éléments égaux à zéro, à l'exception d'une bande centrée sur la diagonale principale. \begin{equation} [A]= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&&\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\\ &a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ &&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} \end{equation}